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数学における置換（ちかん、）の概念は、いくつか僅かに異なった意味で用いられるけれども、何れも対象や値を「並べ替える」ことに関するものである。有り体に言えば、対象からなる集合の置換というのは、それらの対象に適当な順番を与えて並べることを言う。例えば、集合 の置換は、 : (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) の全部で六種類ある順序組である。単語のアナグラムは、単語を構成する文字列に対する置換として定められる。そういった意味での置換の研究は、一般には組合せ論に属する話題である。 相異なる ''n''-個の対象の置換の総数は 通りであり、これは "''n''!" と書いて ''n'' の階乗と呼ばれる。 置換の概念は、多かれ少なかれ（あるいは陰に陽に）、数学のほとんどすべての領域に現れる。例えばある有限集合上に異なる順序付けが考えられる場合に、単にそれらの順番を無視したいとか、無視した時にどれほどの配置が同一視されるかを知る必要があるなどの理由で、置換が行われることも多い。同様の理由で、置換は計算機科学におけるソートアルゴリズムの研究において生じる。 代数学、特に群論において、集合 ''S'' 上の置換は ''S'' から自身への全単射、つまり写像 で ''S'' の各元が像としてちょうど一つずつ現れるもの）として定義される。これは各元 ''s'' を対応する ''f''(''s'') と入れ替えるという意味での ''S'' の並び替え (rearrangement) と関連する。このような置換の全体は対称群と呼ばれる群を成す。重要なことは、置換の合成が定義できること、つまり二つの並び替えを続けて行うと、それは全体として別の並べ替えになっているということである。''S'' 上の置換は、''S'' の元（あるいはそれを特定の記号によって置き換えたもの）を対象として、それらの対象の並び替えとして作用する。 初等組合せ論において、「」はともに ''n'' 元集合から ''k'' 個の元を取り出す方法として可能なものを数え上げる問題に関するもので、取り出す順番を勘案するのが ''k''-順列、順番を無視するのが ''k''-組合せである。''k'' = ''n'' の場合には、''k''-順列は本項に言う意味での置換となるが、それ以外の場合には順列の項へ譲る。 == 歴史 == ''n'' 個の要素の置換の総数を決定する規則は少なくとも1150年ごろにはヒンズー文化において知られていた。インドの数学者バースカラ2世による著書
と訳せる一節が含まれる。 一見数学とは関係のない問いが置換を通じて研究された最初の事例は、1770年ごろにラグランジュが多項式方程式の研究において、方程式の根の置換と方程式の可解性との関係を観察したことである。 この方向性をルフィニが引き継いで進めた結果、5次以上の代数方程式には解の公式が無い事が示された。しかし、置換は文字の順列として表されており、まだ読みにくいものだった。ルフィニの成果に感動したコーシーは置換の記号の簡略化や理論の一般化を行い1815年に『置換論』としてまとめ上げた。アーベルはルフィニの論文を直接には知らなかったがコーシーの『置換論』を読み、ルフィニの論文に欠けていた代数的可解性の原則も証明した上で独自に5次以上の代数方程式には解の公式が無い事を示した(アーベル–ルフィニの定理)。さらに代数的可解性を分析したガロアは、何が（一変数）多項式方程式の可解と不可解とを根本的に決めているのかを完全に記述するガロア理論に到達した。現代数学において、同様に問題の理解に際して関連するある種の置換を調べることになるという状況は多く存在している。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「置換 (数学)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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